高等传热学课件-第3章控制体的微分方程.pdf

第三章控制体的微分方程
第一节定义
第二节控制体物理量及守恒定律的数学描述
第三节方程封闭性的讨论
第四节小结
第一节定义
 坐标系中的自然定义：矢量不仅有大小还有方向，与坐标系方向一致的，符号为“+”，否则为“-”。
 控制体中的人为定义：控制体中的诸物理量增加时，符号“+”，否则为“-”。
 控制面上的实际情况：必须同时考虑关于控制面上所发生的“进”和“出”两种情况。
 定义控制体产生率：控制体内随时间的物理量增量减去因控制面上的流动而引起的控制体物理量增量。

第二节控制体物理量及守恒定律的数学描述
本节所用到的数学描述都是基于这样一种思想：我们所研究的对象是物体的宏观运动，即大量分子的平均行为，而不是单个分子的个别行为，因而可以不去考虑物质的分子结构和单个分子的运动细节。这称为连续介质模型。
以下分析为了简单起见采用二维模型。
热设计

质量守恒定律的数学描述：对于一个控制体积，流出控制体积的质量速率为

动量守恒的数学描述运用动量守恒必须分析控制体积所受到的力，可分为体积力与表面力。前者分析较为简单，而后者在所研究的问题中是待求的未知量。控制体表面某点所受到的应力称为应力矢量，描写任一点的应力状态需要借助应力张量

第三节方程封闭性讨论
 我们已经建立了表示三个基本物理定律得数学方程式。它们包含两个表两方程和一个矢量方程，二维情形下，一共得到四个偏微分方程。方程组中出现的未知函数是：一共12个未知量，方程四个，应补充方程8个

补充的途径有：
一、非平衡体系的热力学函数
二、传热定律和扩散定律
三、牛顿流体粘性定律
在实际问题中，通常还对所研究的问题进行简化。例如定常情形不需要考虑物理量随时间的变化；无体积力不可压情形可使方程减少三个未知量；无粘流动则使方程大为简化。这些做法使方程的封闭性可以进一步满足，解起来也更为方便。
第四节小结与讨论
 在写出控制体的数学表述之前，必须对物理量的符号进行定义：一种是基于坐标系的自然定义，一种是基于控制体的人为定义。
 如果不引入三大守恒原理，我们无法写出关于控制体的微分方程。
 由于系统和控制体之间的差别在于在边界面上有无质量的进出，因此关于系统的三大守恒原理和关于控制体的三大守恒原理，在数学描述上有所差异。

 对控制体，在应用了三大守恒原理之后，我们只可以写出有限数量的方程（一维：3个；二维：4个；三维：5个），因此，对任何实际情况，都必须写出补充方程，才可以进行封闭求解。
上面分析可以看到关于系统的三代守恒定律和关于控制体积的三大守恒定律是有差别的，那么两者的又是如何统一起来的？
 雷诺输运公式表明：一个物质体系内某种流体广延量的增长率，等于体系在该时刻所占的那个空间域中同一物理量的增长率，加上单位时间内由区域边界流出的该物理量的总通量。

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