工科研究生公共课程数学系列之
《数值分析》教师：王振海
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教材
封建湖，车刚明，聂玉峰，数值分析原理，科学出版社，2001
参考书
1、车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁，数值分析典型题解析及自测试题，西北工业大学出版社，2002
2、封建湖，车刚明，计算方法典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社，2001
3、封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，2003
第一章绪论
内容提要
1 算法的概念、可靠性以及优劣评判
2 误差的度量以及传播
3 算法设计应注意的问题
一、科学与工程计算过程
提出实际问题
辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设的条件下，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的联系，即得到数学模型。
建立数学模型
数学模型解的存在性（模型内部没有蕴含矛盾）、惟一性（模型是完备的)以及对相关数据的连续依赖性统称为模型的适定性。
提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所研究的对象。.
科学与工程计算过程（续）
分类方法1：若算法包含有一个进程则称其为串行算法，否则为并行算法。
分类方法2：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算法，否则为非数值型算法。
本课程介绍数值型串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程）
设计高效可靠的算法
数值分析的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法—算法。
概念：从程序设计的角度来讲，所谓算法是由一个或多个进程组成；每个进程明确无歧义地描述由操作及操作对象合成的按一定顺序执行的有限序列；所有进程能够同时执行并且协调地在有限个操作步内完成一个给定问题的求解。这里操作可以是计算机能够完成的算术运算（加减乘除）、逻辑运算、字符运算等。
设计高效可靠的算法（续1）
优劣评价：可靠算法的优劣，应该考虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护）。这是数值分析研究的第三个任务。
可靠性：所谓算法的可靠性包括如下几个方面：算法的收敛性、稳定性、误差估计等。这些是数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。
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设计高效可靠的算法（续2）
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：
函数的插值和逼近
数值积分和数值微分
线性方程组求解、非线性方程（组）求解
代数特征值问题
常微分方程数值解。
本课程的学习方法
尽管本课程所讲算法是很有限的，但许多初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。在此，我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。
1、认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。
2、注重各章节所研究算法的提出，搞清楚问题的基本提法、逐步深入的层次及提法的正确性。
3、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。
4、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力。
5、认真进行数值计算的训练。
科学与工程计算过程小结
提出实际问题
建立数学模型
提出数值问题
设计可靠、高效的算法
程序设计、上机实践计算结果
计算结果的可视化
在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。
科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。
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二、误差基础知识
内容提要：
1.误差的来源及其分类
2.误差的度量
3.误差的传播
三、舍入误差分析及数值稳定性
1.浮点数系
2.舍入误差的产生
3.舍入误差分析
4.数值稳定性
5.算法设计注意事项
总之, 除了算法的正确性之外, 在算法设计中至少还应注意如下几个方面的问题:
1 尽量避免两个相近的近似数相减;
2 合理安排量级相差很大的数之间的运算次序, 防止大数"吃掉"小数;
3 尽可能避免绝对值很小的数做分母;
4 防止出现溢出;
5 简化计算步骤以减少运算次数;
6 选用数值稳定性好的算法.
第二章函数插值
问题提出
1函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数值
2 仅有采样值, 而又需要知道非采样点处的函数值
……
上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式.
内容提要
插值问题
插值多项式的构造方法
分段插值法
第三章函数逼近
一、问题的提出
二函数逼近问题
主要内容
赋范空间、内积空间、正交多项式
最佳平方逼近
曲线最小二乘拟合
最佳一致逼近（工科研究生不要求）
第四章数值积分与数值微分
§1 数值积分概述
§2 Newton Cotes 公式
§3 Romberg求积法
§4 Gauss型求积公式
§5 数值微分
第五章解线性方程组的直接方法
§5.0 概述
§5.1 高斯消去法
§5.2 矩阵分解及其在解方程组中的应用
§5.3 矩阵的条件数和方程组的性质
第六章解线性代数方程组的迭代法
§6.1向量和矩阵序列的极限
§6.2 迭代法的基本理论
§6.3 几种常见的迭代法
第七章非线性方程求根
§7.0 简介
§7.1 二分法（对分法）
§7.2 迭代法的基本理论
§7.3 迭代的加速收敛方法
§7.4 Newton迭代法
§7.5弦割法和抛物线法
第八章矩阵特征值与特征向量的计算
§8.0 问题描述
§8.1 乘幂法与反幂法
§8.2 雅可比方法
§8.3 QR方法
§8.4 求实对称三对角矩阵特征值的二分法
第九章
常微分方程初值问题的数值解法
§9.1 引言
§9.2Euler方法§9.3Runge–Kutta公式
§9.4单步法的进一步讨论
§9.5线性多步法
数值算例
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