有限元法与有限体积法相结合处理运动电磁问题
甘 艳，阮江军，张 宇 (武汉大学电气工程学院，湖北省 武汉市 430072)
Combining the Finite Element Method and the Finite Volume Method in Motion Problem Simulation
GAN Yan, RUAN Jiang-jun, ZHANG Yu (Electrical Engineering School, Wuhan University, Wuhan 430072, Hubei Province, China)
ABSTRACT: A novel method which combining the finite element method(FEM) and the finite volume method(FVM) are adopted to deal with electromagnetic field problems in moving media. The characteristic of the control equation which governing the motion problem is that the equation contains second order elliptic terms and the first order terms with large coefficients, namely, the diffusion term and the convection term. Difficulties in numerical analysis are resulting from the discrete of the convection part. Error estimation of the discrete format of the general Galerkin FEM was analyzed. Solutions by Galerkin FEM contain spurious oscillations under high Peclet number. Considering the advantages of the FEM and FVM, these two methods were combined in solving the convection-diffusion equation. The diffusion term of the equation was discreted by FEM, while the convection term could be treated by FVM. Upwind schemes help to remove spurious oscillations that occur in the solution of convection-diffusion equation. The validity and the efficiency of this method were testified by the comparison of analytic solution and numerical solution. Meanwhile, a simple motion model was analyzed by this method. The results show that the proposed method is superior in analyzing the motion problem.
KEY WORDS: control equation; convection-diffusion equation; convection-dominated; Galerkin finite element method; finite volume method; dual mesh; upwind coefficient
摘要：提出了应用有限元法与有限体积法相结合处理运动电磁问题。运动电磁问题控制方程的特性是方程中不仅有二阶导数项，还含有一阶导数项，且一阶导数项的系数很大。处理这类问题的关键是如何离散一阶导数项。阐明一般Galerkin 有限元法离散格式的误差估计，说明一般Galerkin有限元法处理对流占优型对流扩散方程时解的不稳定性，当局部Peclet 数较大时，Galerkin有限元法求解会使结果产生明显的振荡。在比较了有限元法与有限体积法各自优点的基础上提出将这2种方法相结合处理运动电磁问题，同时，在对流项的处理中还引入了迎风格式以消除数值解的振荡。对简单的一维问题分别应用解析法和数值法计算，从而说明了文中提出的方法的正确性和高效性。应用该文方法计算了一个简单的运动问题，结果表明这种方法可以很好地处理运动电磁问题。
关键词：控制方程；对流扩散方程；对流占优；Galerkin有限元法；有限体积法；对偶剖分；迎风系数
0 引言
目前，场域内介质间的相对运动问题是电磁场数值计算中遇到的一个重要问题。在分析这些问题时，要考虑因运动引起的切割电势。解决这类问题
的难点主要有2 个方面：如何解决数值解的振荡问题以及如何处理介质间的相对运动使得有限元剖分网格发生变化的问题[1-3]。目前，讨论介质间相对运动时的网格处理方面的文献较多，关于数值解振
荡的问题也已展开了广泛的研究，并取得了一定的成果。对于数值解的振荡问题已达成的共识是：通过其它的方式将速度因子V融合到刚度矩阵中，避免出现矢量位函数A对空间坐标的偏导数。文献[1]提出了消除数值解失真振荡的迎风有限元思想，这种处理方法的思想是通过对权函数的修正[4-5]、或高斯积分点的偏移[6]使得有限元方程获得稳定的数值解。但是随着导体运动速度的增加，系数矩阵中速度项所占比例逐渐增大，从而导致对角线元素逐渐减小，甚至会导致系数矩阵失去“主元占优”的特性。而且，修正权函数的方法会使计算量大大增加，偏移高斯积分点的方法对于三角形单元不适用。当控制方程中没有对流项时，用有限元法求解的稳定性是可以保证的，导致数值解不稳定的原因是对流项的处理方法不妥，那么是否可以将对流项与扩散项分开处理，用常规的有限元法处理扩散项，而用其他的方法来离散对流项，当然，离散对流项的方法应该保证对对流项处理的稳定性。本文提出了将有限元法与引入迎风思想的有限体积法相结合处理运动电磁问题，用常规有限元法处理控制方程中的扩散项而用引入迎风思想的有限体积法处理对流项。这种方法在不增加计算量的前提下保证了计算精度，消除了数值解的振荡。
1 控制方程的特性
2 Galerkin 有限元处理运动问题时解的不稳定性分析
在求解对流占优的对流扩散方程时，标准的
Galerkin 有限元格式是不稳定的[7]。为讨论方便，以二阶线性常微分方程第一边值问题为例讨论标
准的Galerkin有限元格式解对流占优型的对流扩散方程时解的误差估计。
3 有限体积法
3.1 有限体积法基本原理
有限体积法在对求解区域作有限剖分后，将原方程在某个子域上积分，应用Gauss定理将散度的积分转化为子域边界上的积分而后选取适当的有限维试探函数空间，在该子空间上离散含子域边界积分的方程，通过引入以Reimann问题近似解为基础的数值流通量从而导出相应的计算格式。
就离散方法而言，有限体积法可视为有限元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定待求量在网格点之间的变化规律(插值函数)，并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格上待求量的数值而不考虑其在网格点之间如何变化。有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定待求量在网格点之间的分布，这与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，而且对微分方程中不同的项可以采用不同的插值函数[8]。
有限体积法的具体实施步骤是：将计算区域均分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分得出1 组离散方程。其中的未知数是网格点上的待求量数值。为了求出控制体的积分，必须假定待求量在网格点之间的变化规律(插值规律)。有限体积法得出的离散方程，要求待求量的积分守恒在任意1 组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格足够细密时，离散方程才满足积分守恒，而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。
有限体积法从物理的观点来分析问题，每一个离散方程都是有限大小体积上某种物理量守恒的表示式。其推导过程物理概念清晰，离散方程的系数具有一定的物理意义，并可以保证离散方程具有守恒特性。同时，有限体积法将网格划分和节点布置分开带来了几何灵活性，它允许网格与控制体不一致，从而带来定义离散运动场的灵活性。但有限体积法不能象有限元法那样利用弱解的概念使二阶导数降阶[8]，其对边界的处理不如有限元法方便。
有限体积法从积分守恒形式出发，将散度的积分化为子域边界积分后再离散，数值解满足离散守恒律，而且可以采用非结构网格，所以在计算物理，计算流体力学和计算传热学等多个领域有广泛的应用[9-12]。20 世纪80 年代以来，由于自适应算法和无结构网格技术的发展，有限体积法得到了更长足的进步，在处理大变形和各种复杂流体动力学问题的能力，以及在方法的精度和收敛性的理论研究方面都有了实质性的进展。
有限元法对应于能量方法，自然地导出扩散问题的单元离散方法。有限体积法从积分守恒形式出发，反映出物理量的守恒规律。把这2 种方法相结合，充分发挥各自的特点，对流项用有限体积法逼近，而扩散项用有限元法离散可以更好地求解对流占优型的对流扩散方程。
3.2 应用有限体积法离散控制方程中的对流项
3.2.1 控制方程离散的思想
M.Feistauer 将非线性对流项用数值通量逼近，扩散项利用Galerkin有限元方法离散，更好地求解了具有初边值条件的对流扩散方程，证明了一种半隐式有限体积–有限元方法离散格式求解二维非线性抛物型对流扩散方程的收敛性并给出了误差估计结果[13-15]。引用这种思想，将方程式(1)中的对流项用有限体积法的思想离散，扩散项则由Galerkin 有限元方法离散。将对流项和扩散项离散后所得到的刚度矩阵中的对应项叠加从而形成总体刚度矩阵。
3.2.2 对偶剖分
3.2.3 有限体积法的离散过程
3.2.4 迎风思想的引入
4 方法的比较
4.1 比较对象
为论述方便，讨论一个简单的一维问题，分别用解析法，有限元法和本文提出的方法来分析。
4.2 有限元法
4.2.1 Galerkin有限元法
4.2.2 迎风有限元法
4.3 有限元法与引入迎风思想的有限体积法
4.4 方法的比较
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